Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点P．连接AC．

（1）求点P的坐标及直线AC的解析式；

（2）如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OF，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接FA、FC．求AF+CF的最小值；

（3）如图3，点M为线段OA上一点，以OM为边在第一象限内作正方形OMNG，当正方形OMNG的顶点N恰好落在线段AC上时，将正方形OMNG沿x轴向右平移，记平移中的正方形OMNG为正方形O′MNG，当点M与点A重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形O′MNG的边MN与AC交于点R，连接O′P、O′R、PR，是否存在t的值，使△O′PR为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）P（2，3），yAC＝﹣x+3；（2）；（3）存在，t的值为﹣3或，理由见解析

【解析】

（1）由抛物线y＝x2+x+3可求出点C，P，A的坐标，再用待定系数法，可求出直线AC的解析式；

（2）在OC上取点H（0，），连接HF，AH，求出AH的长度，证△HOF∽△FOC，推出HF＝CF，由AF+CF＝AF+HF≥AH，即可求解；

（3）先求出正方形的边长，通过△ARM∽△ACO将相关线段用含t的代数式表示出来，再分三种情况进行讨论：当∠O'RP＝90°时，当∠PO'R＝90°时，当∠O'PR＝90°时，分别构造相似三角形，即可求出t的值，其中第三种情况不存在，舍去．

（1）在抛物线y＝x2+x+3中，

当x＝0时，y＝3，

∴C（0，3），

当y＝3时，x1＝0，x2＝2，

∴P（2，3），

当y＝0时，则x2+x+3=0，

解得：x1＝﹣4，x2＝6，

B（﹣4，0），A（6，0），

设直线AC的解析式为y＝kx+3，

将A（6，0）代入，

得，k＝﹣，

∴y＝﹣x+3，

∴点P坐标为P（2，3），直线AC的解析式为y＝﹣x+3；

（2）在OC上取点H（0，），连接HF，AH，

则OH＝，AH＝，

∵，，且∠HOF＝∠FOC，

∴△HOF∽△FOC，

∴，

∴HF＝CF，

∴AF+CF＝AF+HF≥AH＝，

∴AF+CF的最小值为；

（3）∵正方形OMNG的顶点N恰好落在线段AC上，

∴GN＝MN，

∴设N（a，a），

将点N代入直线AC解析式，

得，a＝﹣a+3，

∴a＝2，

∴正方形OMNG的边长是2，

∵平移的距离为t，

∴平移后OM的长为t+2，

∴AM＝6﹣（t+2）＝4﹣t，

∵RM∥OC，

∴△ARM∽△ACO，

∴，

即，

∴RM＝2﹣t，

如图3﹣1，当∠O'RP＝90°时，延长RN交CP的延长线于Q，

∵∠PRQ+∠O'RM＝90°，∠RO'M+∠O'RM＝90°，

∴∠PRQ＝∠RO'M，

又∵∠Q＝∠O'MR＝90°，

∴△PQR∽△RMO'，

∴，

∵PQ＝2+t-2=t，QR＝3﹣RM＝1+t，

∴，

解得，t1＝﹣3﹣（舍去），t2＝﹣3；

如图3﹣2，当∠PO'R＝90°时，

∵∠PO'E+∠RO'M＝90°，∠PO'E+∠EPO'＝90°，

∴∠RO'M＝∠EPO'，

又∵∠PEO'＝∠O'MR＝90°，

∴△PEO'∽△O'MR，

∴，

即，

解得，t＝；

如图3﹣3，当∠O'PR＝90°时，延长O’G交CP于K，延长MN交CP的延长线于点T，

∵∠KPO'+∠TPR＝90°，∠KO'P+∠KPO'＝90°，

∴∠KO'P＝∠TPR，

又∵∠O'KP＝∠T＝90°，

∴△KO'P∽△TPR，

∴，

即，

整理，得t2-t+3＝0，

∵△＝b2﹣4ac＝﹣＜0，

∴此方程无解，故不存在∠O'PR＝90°的情况；

综上所述，△O′PR为直角三角形时，t的值为﹣3或．