Question

【题目】如图，矩形ABCD 中，AD=4cm，AB=6cm，动点 E从 B向A运动，速度为每秒2cm；同时，动点F从 C向B运动，速度为每秒3cm；任意一点到达终点后，两点都停止运动。连接CE、DF交于点P，连接BP，

（1）求证：△EBC ∽ △FCD

（2）BP最小值是多少？此时点F运动了多少秒？

（3）在该运动过程中， tan∠PAD的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）BP最小值是2，此时点F运动了1秒；（3）最大值为

【解析】

（1）根据点E、F的运动速度可得，易证△EBC ∽ △FCD；

（2）由（1）可得∠DPC=90°，推出点P落在以CD为直径的圆弧上，当点B、P、G共线时，BP取最小值，此时可求出BP；作GH∥BC，利用相似三角形△BFP∽△GHP,可求出t.

（3）在运动过程中，∠PAD的角度逐渐变大，所以当F运动到B点时，tan∠PAD最大，过点P作MN∥AB，由△BPC∽△CPD，△BNP∽△DMP和△BNP∽△BCD，利用对应边成比例可求出此时PM、BN的长度，易得tan∠PAD.

解：（1）设运动时间为t，则BE=2t，CF=3t，

∴，

又∵∠EBC=∠FCD=90°，

∴△EBC∽△FCD；

（2）∵△EBC∽△FCD，

∴∠ECB=∠FDC，

∵∠FDC+∠DFC=90°，

∴∠ECB+∠DFC=90°，

∴∠FPC=90°，即∠DPC=90°，

故点P落在以CD为直径的圆弧上，如图1，

令CD中点为G，运动时间为t，

∴当点B、P、G共线时，BP取最小值，

∴CG=，

∴BG=，

∴BP=BG-GP=5-3=2，

作GH∥BC，

则△BFP∽△GHP,GH=，BF=4-3t，

∴，即，

解得：t=1；

（3）根据题意可知，在运动过程中，∠PAD的角度逐渐变大，

∴当F运动到B点时，tan∠PAD最大，

如图2，过点P作MN∥AB，

由∠BPC=90°易证△BPC∽△CPD，

∴，

设BP=2a，则PC=3a，PD=，

∵AD∥BC，

∴△BNP∽△DMP，

∴，

∴PM=，

由△BNP∽△BCD，可得，

∴BN=，

∴tan∠PAD=.