【题目】如图,在△ABC中.AB=AC.∠BAC=36°.BD是∠ABC的平分线,交AC于点D,E是AB的中点,连接ED并延长,交BC的延长线于点F,连接AF.求证:(1)EF⊥AB; (2)△ACF为等腰三角形.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)依据AB=AC,∠BAC=36°,可得∠ABC=72°,再根据BD是∠ABC的平分线,即可得到∠ABD=36°,由∠BAD=∠ABD,可得AD=BD,依据E是AB的中点,即可得到FE⊥AB;
(2)依据FE⊥AB,AE=BE,可得FE垂直平分AB,进而得出∠BAF=∠ABF,依据∠ABD=∠BAD,即可得到∠FAD=∠FBD=36°,再根据∠AFC=∠ACB﹣∠CAF=36°,可得∠CAF=∠AFC=36°,进而得到AC=CF.
(1)∵AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB =72°.
又∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠FBD= 36°,∴∠BAD=∠ABD,∴AD=BD.
又∵E是AB的中点,∴DE⊥AB,即FE⊥AB;
(2)∵FE⊥AB,AE=BE,∴FE垂直平分AB,∴AF=BF,∴∠BAF=∠ABF.
又∵∠ABD=∠BAD,∴∠FAD=∠FBD=36°.
又∵∠ACB=72°,∴∠AFC=∠ACB﹣∠CAF=36°,∴∠CAF=∠AFC=36°,∴AC=CF,即△ACF为等腰三角形.
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【题目】阅读下面材料,完成(1)-(3)题
数学课上,老师出示了这样一道题:如图, 中,
,点P为边AB上一点(不与A、B重合),过P作
于Q,做QE∥AB交BC于点E,连接PE,将线段PE绕点P顺时针旋转90°到PF,连接QF,探究线段
之间的数量关系并证明.
同学们经过思考后,交流了自已的想法
小明:“通过观察和度量,发现为直角.”
小伟:“我通过一线三直角的模型构造三角形全等可以解决问题.”
小强:“我构造等腰直角三角形,再利用全等三角形可以解决问题.”
老师:“若其他条件不变,PE=AC,就可以求出
的值.”
(1)多少度?四边形
为什么特殊四边形?(直接写出答案)
(2)探究线段之间的数量关系并证明;
(3)若其他条件不变,PE=AC,求
的值.
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【题目】(9分)某批发商以每件50元的价格购进800件T恤,第一个月以单价80元销售,售出了200件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件,批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出10件,但最低单价应高于购进的价格;第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售,清仓是单价为40元,设第二个月单价降低元.
(1)填表:(不需化简)
(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元,那么第二个月的单价应是多少元?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(﹣1,5),B(﹣1,0),C(﹣4,3).
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△DEF(其中D,E,F分别是A,B,C的对应点,不写画法);
(2)直接写出D,E,F三点的坐标:D( ),E( ),F( );
(3)在y轴上存在一点,使PC﹣PB最大,则点P的坐标为 .
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【题目】如图,湛河两岸AB与EF平行,小亮同学假期在湛河边A点处,测得对岸河边C处视线与湛河岸的夹角∠CAB=37°,沿河岸前行140米到点B处,测得对岸C处的视线与湛河岸夹角∠CBA=45°.问湛河的宽度约多少米?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75)
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【题目】如图,抛物线y=x22x+c的顶点A在直线l:y=x
5上.
(1)求抛物线顶点A的坐标;
(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断△ABD的形状;
(3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知点P(3m-6,m+1),试分别根据下列条件,求出点P的坐标.
(1)点P的横坐标比纵坐标大1;
(2)点P在过点A(3,-2),且与x轴平行的直线上;
(3)点P到y轴的距离是到x轴距离的2倍.
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【题目】如图,在锐角△ABC中,AC=8,△ABC的面积为20,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是________.
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【题目】由于某地供水管爆裂.该地供水部门组织工人进行抢修.供水部门距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供水部门出发,15分钟后,工人乘吉普车从同一地点出发,结果他们同时到达抢修工地.已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍,求这两种车的速度.
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