Question

【题目】如图，在锐角△ABC中，AC＝8，△ABC的面积为20，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是________.

Answer 1

【答案】5

【解析】

根据AD是∠BAC的平分线确定出点B关于AD的对称点B′在AC上，根据垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，利用三角形的面积求出BE，再根据等腰三角形两腰上的高相等可得B′N=BE，从而得解．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，如图，

由轴对称确定最短路线问题,点M即为使BM+MN最小的点,B′N=BM+MN，

过点B作BE⊥AC于E,

∵AC=8,S△ABC=20，

∴12×8BE=20，

解得BE=5，

∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，

∴AB=AB′，

∴△ABB′是等腰三角形，

∴B′N=BE=5，

即BM+MN的最小值是5.

故答案为5.