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【题目】如图,抛物线yax2bx-3x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C,且其对称轴lx1,点P是抛物线上BC之间的一个动点(点P不与点BC重合).

(1)直接写出抛物线的解析式;

(2)小唐探究点P的位置时发现:当动点N在对称轴l上时,存在PBNB,且PBNB的关系,请求出点P的坐标;

(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大?若存在,请求出四边形PBAC面积的最大值;若不存在,请说明理由.

【答案】 (1)抛物线的解析式为yx2+2x-3;

(2点P的坐标为(-1-,-2);

(3)存在,四边形PBAC的面积最大,最大值为

【解析】(1)由抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)点A(1,0)和点B(-3,0),由待定系数法就可以直接求出a、b的值而求出抛物线的解析式.
(2)由(1)的解析式就可以求出C点的坐标,求出OC的值,在Rt△CON中由勾股定理就可以求出CN的值,CP1=NP1时,
作P1H⊥CN于H,由三角形相似就可以求出P1N的值,从而求出P1的坐标;
(3)设出点E的坐标,连接BE、CE,作EG⊥OB于点G,就可以表示EG、BG、OG的值就可以表示出四边形BOCE的面积,然后化为顶点式就可以求出其面积的最大值.

解:(1)抛物线的解析式为yx2+2x-3.

(2)

如图,过点PPMx轴于点M

设抛物线对称轴lx轴于点Q

PBNB,∴∠PBN=90°,

∴∠PBM+∠NBQ=90°.

∵∠PMB=90°,

∴∠PBM+∠BPM=90°.

∴∠BPM=∠NBQ

又∵∠BMP=∠BNQ=90°,PBNB

BPM≌△NBQ.∴PMBQ

∵抛物线yx2+2x-3与x轴交于点A(1,0)和点B,且对称轴为x=-1,

∴点B的坐标为(-3,0),点Q的坐标为(-1,0).∴BQ=2.∴PMBQ=2.

∵点P是抛物线yx2+2x-3上BC之间的一个动点,

∴结合图象可知点P的纵坐标为-2.

y=-2代入yx2+2x-3,得-2=x2+2x-3.

解得x1=-1-x2=-1+(舍去).

∴此时点P的坐标为(-1-,-2).

(3)存在.

如图,连接AC.可设点P的坐标为(xy)(-3﹤x﹤0),

yx2+2x-3.∵点A(1,0),∴OA=1.

∵点C是抛物线与y轴的交点,∴令x=0,得y=-3.即点C(0,-3).

OC=3.由(2)可知

S四边形PBAC=SBPM+S四边形PMOC+SAOC

BM·PMPMOC)·OMOA·OC

x+3)(-y)+(-y+3)(-x)+×1×3

=-yx.将yx2+2x-3代入可得

S四边形PBAC=-x2+2x-3)-x

=-x2.∵-﹤0,-3﹤x﹤0,

∴当x=-时,S四边形PBAC有最大值

此时,yx2+2x-3=-

∴当点P的坐标为(-,-)时,

四边形PBAC的面积最大,最大值为

“点睛”本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征;会运用待定系数法求函数的解析式;能灵活运用相似三角形性质表示线段之间的关系;理解坐标与图形性质,会运用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形;学会用分类讨论的思想解决数学问题.

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