Question

13．如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个等腰直角三角形，则称M，N是线段AB的和谐分割点．

（1）已知M，N是线段AB的和谐分割点，若AM=4，则MN=4$\sqrt{2}$或4或2$\sqrt{2}$；
（2）如图2，在△ABC中，F是AB边上的任一点，FG∥BC交AC于点G，D，E是线段BC的和谐分割点，且EC=BD，连结AD，AE，分别交FC于点M，N．
求证：M，N是线段FG的和谐分割点．
（3）如图3，平移抛物线y=-2x²，分别得到抛物线L₁，L₂和L₃，抛物线L₁与x轴交于点A（x₁，0），M（x₂，0），抛物线L₂与x轴交于点M，N，抛物线L₃与x轴交于点N，B，抛物线L₁，L₂，L₃的顶点C，D，E的纵坐标分别记为y_C，y_D，y_E，已知点M，N是线段AB的和谐分割点切MN＞AM，试猜想y_C与y_D的数量关系，并证明你的结论．
（4）如图4，在菱形ABCD中，∠ABC=β（β＜90°），点E、F分别在BC、CD上，AE，AF分别交BD于点M，N，若∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，当M，N是线段BD的和谐分割点时，直接写出sinβ的值．

Answer 1

分析 （1）分两种情形讨论即可解决问题．
（2）想办法证明FM=GN，MN²=FM²+NG²即可．
（3）结论：y_D=2y_C．如图3中，由题意抛物线L₁的解析式为y=-2（x-x₁）（x-x₂），根据对称轴为x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，求出y_C，因为点M，N是线段AB的和谐分割点切MN＞AM，所以MN=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$（x₂-x₁），所以N[x₂+$\sqrt{2}$（x₂-x₁），0]，推出抛物线L₂的解析式为y=-2（x-x₂）[x-x₂-$\sqrt{2}$（x₂-x₁）]，根据对称轴为x=$\frac{{2x}_{2}+\sqrt{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{2}$，求出y_D即可解决问题．
（4）如图4中，将△ABM绕点A旋转得到△ADP，连接PN，首先证明△ANP≌△ANM，推出MN=PN，BM=PD，因为M，N是线段BD的和谐分割点，所以△PDN是等腰直角三角形，推出∠PDN=45°或90°，分别讨论即可．

解答 解：（1）如图1中，当MN是斜边时，MN=4$\sqrt{2}$，当MN是直角边时，MN=4或2$\sqrt{2}$，
故答案为4$\sqrt{2}$或4或2$\sqrt{2}$．

（2）如图2中，由题意DE²=BD²+EC²，BD=EC，
∵FG∥BC，
∴$\frac{FM}{BD}$=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{AG}{AC}$=$\frac{NG}{EC}$，$\frac{MN}{ED}$=$\frac{AM}{AD}$=$\frac{AF}{AB}$，
∴FM=NG，$\frac{FM}{BD}$=$\frac{MN}{DE}$=$\frac{NG}{EC}$，设，$\frac{FM}{BD}$=$\frac{MN}{DE}$=$\frac{NG}{EC}$=$\frac{1}{k}$，
∴BD=k•FM，DE=k•MN，EC=k•NG，
∴k²•MN²=k²•BD²+k²•NG²，
∴MN²=FM²+GN²，
∴以FM，MN，GN为边的三角形是一个等腰直角三角形．
∴M，N是线段FG的和谐分割点．

（3）结论：y_D=2y_C．理由如下，
如图3中，由题意抛物线L₁的解析式为y=-2（x-x₁）（x-x₂），
∵对称轴为x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
∴y_C=-2（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-x₁）（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-x₂）=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}{2}$，
∵点M，N是线段AB的和谐分割点切MN＞AM，
∴MN=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$（x₂-x₁），
∴N[x₂+$\sqrt{2}$（x₂-x₁），0]，
∴抛物线L₂的解析式为y=-2（x-x₂）[x-x₂-$\sqrt{2}$（x₂-x₁）]，
∵对称轴为x=$\frac{{2x}_{2}+\sqrt{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{2}$，∴y_D=-2[$\frac{2{x}_{2}+\sqrt{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{2}$-x₂][$\frac{2{x}_{2}+\sqrt{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{2}$-x₂-$\sqrt{2}$（x₂-x₁）=（x₂-x₁）²，
∴y_D=2y_C．

（4）如图4中，将△ABM绕点A旋转得到△ADP，连接PN．
∵∠MAN=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠BAM+∠DAN=$\frac{1}{2}$∠BAD=∠DAN+∠PAD，
∴∠PAN=∠NAM，∵AN=AN，AM=AP，
∴△ANP≌△ANM，
∴MN=PN，BM=PD，
∵M，N是线段BD的和谐分割点，
∴△PDN是等腰直角三角形，
∴∠PDN=45°或90°，
当∠PDN=90°时，∠ADP=∠ADN=∠ABD=45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC=2∠ABD=90°，不合题意，
∴∠PDN=45°，
∴∠ADP=∠ADB=∠ABD=22.5°，
∠ABC=2∠ABD=45°，
∴β=45°，sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、平行线分线段成比例定理、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．