Question

【题目】矩形ABCO，O（0，0），C（0.3），A（a.0），（a≥3），以A为旋转中心顺时针旋转矩形ABCO，得到矩形AFED．

（1）如图1，当点D落在边BC上时，求BD的长；

（2）如图2，当a＝3时，矩形AFEO的对角线A任交矩形ABCO的边BC于点G，连结CE．若△CGE是等腰三角形，求直线BE的解析式．

（3）如图3，当a＝4时，矩形ABCD的对称中心为点M，△MED的面积为s，求s的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝﹣x+6；（3）

【解析】

（1）如图1，当点D落在边BC上时，BD2＝AD2﹣AB2，即可求解；

（2）分CG＝EG、CE＝GE、CE＝CG三种情况分别求解；

（3）MN≤MA+AD，当射线DA经过点M时，MN＝MA+AD＝，当边AD经过点M，即P与M重合时，MN＝PD，MN＝PD＝AD﹣AP＝4-，即可求解．

（1）如图1，

在矩形ABCO中，∠B＝90°

当点D落在边BC上时，BD2＝AD2﹣AB2，

∵C（0，3），A（a，0）

∴AB＝OC＝3，AD＝AO＝a，

∴BD＝；

（2）如图2，连结AC，

∵a＝3，∴OA＝OC＝3，

∴矩形ABCO是正方形，∴∠BCA＝45°，

设∠ECG的度数为x，

∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝45°+x，

①当CG＝EG时，x＝45°+x，

解得x＝0，不合题意，舍去；

②当CE＝GE时，如图2，

∠ECG＝∠EGC＝x

∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，

∴x+x+（45°+x）＝180°，解得x＝45°，

∴∠AEC＝∠ACE＝90°，不合题意，舍去；

③当CE＝CG时，∠CEG＝∠CGE＝45°+x，

∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，

∴x+（45°+x）+（45°+x）＝180°，解得x＝30°，

∴∠AEC＝∠ACE＝75°，∠CAE＝30°

如图3，连结OB，交AC于点Q，过E作EH⊥AC于H，连结BE，

∴EH＝AE＝AC，BQ＝AC，

∴EH＝BQ，EH∥BQ且∠EHQ＝90°

∴四边形EHQB是矩形

∴BE∥AC，

设直线BE的解析式为y＝﹣x+b，

∵点B（3，3）在直线上，则b＝6，

∴直线BE的解析式为y＝﹣x+6；

（3）如图4，

∵a＝4，点M是矩形ABCO的对称中心

∴AO＝4，AM＝，

以A为圆心，分别以AO、AM为半径作圆，AD交小圆于P，

过M作MN⊥ED于N

∴DE切大圆于D

∴MN≥PD

根据“垂线段最短”，MN≤MA+AD，

如图5，当射线DA经过点M时，MN＝MA+AD＝，

∴s的最大值是ED×（MA+AD）＝；

如图6，当边AD经过点M，即P与M重合时，MN＝PD，

MN＝PD＝AD﹣AP＝4﹣＝，

∴s的最小值是ED×PD＝，

s的取值范围是