Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（-3，0），C（1，0），B（1，3）．
（1）求线段AC和BC的长；
（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：综合题

分析：（1）由点A、B、C的坐标就可求出线段AC和BC的长．
（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标．
（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．

解答：解：（1）∵点A、B、C的坐标分别为A（-3，0）、B（1，3）、C（1，0），
∴∠ACB=90°，AC=1+3=4，BC=3．
∴线段AC和BC的长分别为4，3．

（2）若△ADB与△ABC相似（不包括全等），则有∠ABD=90°，如图1，

此时

AB

AC

=

AD

AB

，即AB²=AC•AD．
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴25=4AD，
∴AD=

25

4

，
∴OD=AD-AO=

25

4

-3=

13

4

，
∴点D的坐标为（

13

4

，0）．

（3）∵AP=DQ=m，∴AQ=AD-QD=

25

4

-m．
①若△APQ∽△ABD，如图2，

则有

AP

AB

=

AQ

AD

，
∴AP•AD=AB•AQ，
∴

25

4

m=5（

25

4

-m），
解得；m=

25

9

．
②若△APQ∽△ADB，如图3，

则有

AP

AD

=

AQ

AB

，
∴AP•AB=AD•AQ，
∴5m=

25

4

（

25

4

-m），
解得：m=

125

36

．
综上所述：符合要求的m的值为

25

9

或

125

36

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．