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【题目】如图,在ABC中,AB=AC,E是BC中点,点O在AB上,以OB为半径的O经过点AE上的一点M,分别交AB,BC于点F,G,连BM,此时FBM=CBM.

(1)求证:AM是O的切线;

(2)当BC=6,OB:OA=1:2 时,求,AM,AF围成的阴影部分面积.

【答案】(1)见试题解析;(2)2π.

析】

试题分析:(1)连接OM,由AB=AC,且E为BC中点,利用三线合一得到AE垂直于BC,再由OB=OM,利用等边对等角得到一对角相等,由已知角相等,等量代换得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行得到OM与BC平行,可得出OM垂直于AE,即可得证;

(2)由E为BC中点,求出BE的长,再由OB与OA的比值,以及OB=OM,得到OM与OA的比值,由OM垂直于AE,利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半,得到此直角边所对的角为30度得到MAB=30°,MOA=60°,阴影部分的面积=三角形AOM面积﹣扇形MOF面积,求出即可.

试题解析:(1)连结OM,AB=AC,E是BC中点,BCAE,OB=OM,∴∠OMB=MBO,

∵∠FBM=CBM,∴∠OMB=CBM,OMBC,OMAE,AM是O的切线;

(2)E是BC中点,BE=BC=3,OB:OA=1:2,OB=OM,OM:OA=1:2,

OMAE,∴∠MAB=30°,MOA=60°,OA:BA=1:3,OMBC,∴△AOM∽△ABE,

==OM=2,AM==2

S阴影=×2×2﹣=2π.

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