Question

如图，y=ax²+bx-2的图象过A（1，0），B（-2，0）与y轴交于点C．
（1）求抛物线关系式及顶点M的坐标；
（2）若N为线段BM上一点，过N作x轴的垂涎，垂足为Q，当N在线段BM上运动（N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t的关系式并求出S的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用交点式得出抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+2），将C（0，-2）坐标代入求出a的值即可；
（2）利用待定系数法求出线段BM所在的直线的解析式，再利用S=S_△AOC+S_梯形OCNQ求出S与t间的函数关系式即可求出最值；
（3）利用①若∠APC=90°，则PC²+PA²=AC²，②若∠ACP=90°，则PC²+AC²=PA²，③若∠PAC=90°，则AC²+PA²=PC²，分别求出m的值即可得出P点坐标．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx-2的图象经过点A（1，0）及B（-2，0）两点．
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+2），将C（0，-2）坐标代入，-2=a（0-1）（0+2），
解得：a=1，
故y=x²+x-2=（x+

1

2

）²-

9

4

；则其顶点M的坐标是（-

1

2

，-

9

4

）；

（2）设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b，
∴

0=-2k+b - 9 4 =- 1 2 k+b

，
解得：

k=- 3 2 b=-3

，
∴线段BM所在的直线的解析式为y=-

3

2

x-3，
∵-t=-

3

2

x-3，
∴x=

2

3

t-2，
点N的坐标为N（

2

3

t-2，-t），
∴S=S_△AOC+S_梯形OCNQ=

1

2

×1×2+

1

2

（2+t）•|

2

3

t-2|═-

1

3

t²+

1

3

t+3，
∴S与t间的函数关系式为S=-

1

3

t²+

1

3

t+3=-

1

3

（t-

1

2

）²+

37

12

，
当t=

1

2

时，S的最大值为

37

12

；

（3）存在符合条件的点P，
设点P的坐标为P（-

1

2

，m），如图，连接PA、PC，作CE⊥MP于E．
则AC²=1²+2²=5，
PA²=（-

1

2

-1）²+m²，PC²=（

1

2

）²+（m+2）²，
分以下几种情况讨论：
①若∠APC=90°，则PC²+PA²=AC²，
即（-

1

2

-1）²+m²+（

1

2

）²+（m+2）²=5，
解得：m₁=-

1

2

，m₂=-

3

2

，
②若∠ACP=90°，则PC²+AC²=PA²，
即（

1

2

）²+（m+2）²+5=（-

1

2

-1）²+m²，
解得：m=-

7

4

．
③若∠PAC=90°，则AC²+PA²=PC²，（-

1

2

-1）²+m²+5=（

1

2

）²+（m+2）²，
解得：m=

3

4

，
综上所述，存在满足条件的点P，其坐标分别是：P₁（-

1

2

，-

1

2

），P₂（-

1

2

，-

3

2

），P₁（-

1

2

，-

7

4

），P₁（-

1

2

，

3

4

）．

点评：本题考查了二次函数的综合应用以及勾股定理的应用等知识，注意△PAC为直角三角形时，应该分三种情况进行讨论，以防漏解．