Question

如图，抛物线y=ax²+bx-3交x轴于点A（-1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第一象限内抛物线上，找一点M使△OCM的面积是△OAM的面积的

3

2

倍，求点M的坐标；
（3）在抛物线上，找一点N使∠NCA=2∠ACB，求点N的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A（-1，0），B（3，0）两点代入y=ax²+bx-3求解即可，
（2）由y=x²-2x-3交y轴于点C．可得OC=3，设M（x，y），由△OCM的面积是△OAM的面积的

3

2

倍，可得

1

2

OC•x=

3

2

×

1

2

•|AO|•y，解得y=2x，代入y=x²-2x-3求解即可．
（3）作NQ⊥AB于点Q，CH⊥NQ于点H，由△AOC∽△NHC，设N（x，y），由

NH

AO

=

CH

CO

，可得x=-3y-9，与y=x²-2x-3联立求解即可．

解答：解：（1）把A（-1，0），B（3，0）两点代入y=ax²+bx-3得

0=a-b-3 0=9a+3b-3

，解得

a=1 b=-2

，
所以抛物线的解析式y=x²-2x-3．
（2）如图1，

∵y=x²-2x-3交y轴于点C．
∴OC=3，
设M（x，y），
∵△OCM的面积是△OAM的面积的

3

2

倍，
∴

1

2

OC•x=

3

2

×

1

2

•|AO|•y，
∴y=2x，
代入y=x²-2x-3得，x₁=2+

7

，x₂=2-

7

（舍去），
∴y=2x=4+2

7

，
∴M（2+

7

，4+2

7

）．
（3）如图2，作NQ⊥AB于点Q，CH⊥NQ于点H，

∵OB=3，OC=3，
∴∠OCB=∠BCH=45°，
∵∠NCA=2∠ACB，
∴∠OCA=∠NCH，∠AOC=∠NHC=90°，
∴△AOC∽△NHC，
设N（x，y），
∴

NH

AO

=

CH

CO

，
∴

-y-3

1

=

x

3

，解得x=-3y-9，
与y=x²-2x-3联立得

y=x2-2x-3 x=-3y-9

，解得

x=0 y=-3

（舍去），

x= 5 3 y=- 32 9

．
∴N（（

5

3

，-

32

9

）．

点评：本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．