Question

10．如图，⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，弦CG=CD，且交半径OB于点F，射线DG交AB的延长线于点H，若OE=$\frac{4}{3}$，OH=6，则CD=$\frac{4}{3}$$\sqrt{22}$．

Answer 1

分析 连结DO，CO，由同弧所对的圆心角和圆周角的关系有∠CGD=$\frac{1}{2}$∠COD，而∠AOD=$\frac{1}{2}$∠COD，于是得到∠CGD=∠AOD．由等腰三角形的性质得到∠CDG=∠CGD，于是得到∠AOD=∠CDG，根据相似三角形的性质得到$\frac{EO}{ED}$=$\frac{ED}{EH}$，根据垂径定理即可得到结论．

解答 解：连结DO，CO，
∵∠CGD=$\frac{1}{2}$COD，而∠AOD=$\frac{1}{2}$∠COD，
∴∠CGD=∠AOD，
∵CG=CD，
∴∠CDG=∠CGD，
∴∠AOD=∠CDG．
在Rt△EOD和Rt△EDH中，
∵∠EOD=∠EDH，∠DEO=∠DEH=90°，
∴△EOD∽△EDH，
∴$\frac{EO}{ED}$=$\frac{ED}{EH}$，
∴ED²=EO•EH=$\frac{4}{3}$×（$\frac{4}{3}$+6）=$\frac{88}{9}$，
∴ED=$\sqrt{\frac{88}{9}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{22}$，
∴CD=2ED=$\frac{4}{3}$$\sqrt{22}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$$\sqrt{22}$．

点评 本题考查了圆周角、弧、弦的关系，勾股定理，垂径定理，正确的找出辅助线是解题的关键．