Question

2．如图，已知抛物线y=x²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）两点，点C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△BCM是等腰三角形？若存在，求出点M坐标；若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标；
（2）由解析式可求得其对称轴，再结合函数的增减性分0＜x＜1和1＜x＜3分别求y的最大值和最小值即可求得y的取值范围；
（3）可设M点坐标为（1，t），则可表示出BM、CM和BC的长度，分BM=BC、CM=BC和BM=CM三种情况分别可得到关于t的方程，可求得t的值，则可求得M点的坐标．

解答 解：
（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点坐标为（1，-4）；
（2）∵y=（x-1）²-4，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当0＜x＜1时，当x=0时，y有最大值为-3，当x=1时，y有最小值为-4，
当1＜x＜3时，当x=3时，y有最大值为0，当x=1时，y有最小值为-4，
∴当0＜x＜3时，-4＜y＜0；
（3）由（2）可知抛物线对称轴为x=1，
∴可设M（1，t），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴BC=3$\sqrt{2}$，BM=$\sqrt{（3-1）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{4+{t}^{2}}$，CM=$\sqrt{{1}^{2}+（t+3）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+6t+10}$，
∵△BCM为等腰三角形，
∴有BM=BC、CM=BC和BM=CM三种情况，
①当BM=BC时，即$\sqrt{4+{t}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，解得t=±$\sqrt{14}$，此时M点坐标为（1，$\sqrt{14}$）或（1，$\sqrt{14}$），
②当CM=BC时，即$\sqrt{{t}^{2}+6t+10}$=3$\sqrt{2}$，解得t=-3±$\sqrt{17}$，此时M点坐标为（1，-3+$\sqrt{17}$）或（1，-3$\sqrt{17}$），
③当BM=CM时，即$\sqrt{4+{t}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+6t+10}$，解得t=-1，此时M点坐标为（1，-1），
综上可知存在满足条件的M点，其坐标为（1，$\sqrt{14}$）或（1，$\sqrt{14}$）或（1，-3+$\sqrt{17}$）或（1，-3$\sqrt{17}$）或（1，-1）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中注意待定系数法及抛物线顶点坐标的求法，在（2）中确定出函数的增减性是解题的关键，也可以直接利用图象求解，在（3）中分三种情况分别得到关于M点坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．