[题目]探究题(1)问题发现:如图1.在正方形ABCD中.点E.F分别是边BC.AB上的点.且CE=BF.连接DE.过点E作EG⊥DE.使EG=DE.连接FG.FC.请判断:FG与CE的数量关系是 . 位置关系是． (2)拓展探究:如图2.若点E.F分别是CB.BA延长线上的点.其它条件不变.(1)中结论是否仍然成立?请出判断判断予以证明,(3)类比延伸:如图3.若点E.F分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】探究题
（1）问题发现：
如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC，请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是．

（2）拓展探究：
如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断予以证明；

（3）类比延伸：
如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．

【答案】
（1）FG=CE；FG∥CE
（2）

解：FG=CE，FG∥CE仍然成立；理由如下：

过点G作GH⊥CB的延长线于点H，如图2所示：

∵EG⊥DE，

∴∠GEH+∠DEC=90°，

∵∠GEH+∠HGE=90°，

∴∠DEC=∠HGE，

在△HGE与△CED中，，

∴△HGE≌△CED（AAS），

∴GH=CE，HE=CD，

∵CE=BF，∴GH=BF，

∵GH∥BF，

∴四边形GHBF是矩形，

∴GF=BH，FG∥CH

∴FG∥CE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=BC，

∴HE=BC，

∴HE+EB=BC+EB，

∴BH=EC，

∴FG=EC；

（3）

解：FG=CE，FG∥CE仍然成立．理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°，

在△CBF与△DCE中，，

∴△CBF≌△DCE（SAS），

∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，

∵EG=DE，∴CF=EG，

∵DE⊥EG

∴∠DEC+∠CEG=90°

∵∠CDE+∠DEC=90°

∴∠CDE=∠CEG，

∴∠BCF=∠CEG，

∴CF∥EG，

∴四边形CEGF平行四边形，

∴FG∥CE，FG=CE．

【解析】解：（1）FG=CE，FG∥CE；理由如下：
过点G作GH⊥CB的延长线于点H，如图1所示：

则GH∥BF，∠GHE=90°，
∵EG⊥DE，
∴∠GEH+∠DEC=90°，
∵∠GEH+∠HGE=90°，
∴∠DEC=∠HGE，
在△HGE与△CED中，，
∴△HGE≌△CED（AAS），
∴GH=CE，HE=CD，
∵CE=BF，
∴GH=BF，
∵GH∥BF，
∴四边形GHBF是矩形，
∴GF=BH，FG∥CH
∴FG∥CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，
∴HE=BC，
∴HE+EB=BC+EB，
∴BH=EC，
∴FG=EC；
所以答案是：FG=CE，FG∥CE；
【考点精析】根据题目的已知条件，利用矩形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．

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（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S1S2=；
（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求S1S2的值；
（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．
（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S1S2的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）．
（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S1S2的表达式，不必写出解答过程．

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A.（）2016
B.（）2017
C.（）2016
D.（）2017