【题目】已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD 平分∠BAC．
（1）求证：点 D 在 AB 的垂直平分线上；
（2）若 CD=2，求 BC 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）6
【解析】
（1）先根据三角形内角和定理得∠BAC＝60°，再根据AD 平分∠BAC，可得∠BAD＝∠B＝30°，即AD＝BD，得证点D在AB的垂直平分线上；
（2）根据特殊三角函数值求得AD＝2CD=4，结合（1）得BD＝AD=4，即可求出BC 的长．
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°．
又∵AD平分∠BAC，
∠BAD＝∠CAD＝30°
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴AD＝BD
∴点D在AB的垂直平分线上
（2）∵AD＝BD，∠B＝30°
∴
∴
在Rt△ACD中，∠C＝90°，
∴AD＝2CD=4
由（1）得BD＝AD=4
∴BC＝BD+CD=2+4=6
全能测控一本好卷系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
①△BDE∽△DPE；②
=
；③DP2=PHPB；④tan∠DBE=2﹣
．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④
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【题目】如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上．
（1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标；
（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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【题目】如图1，在矩形ABCD中，DB=6，AD=3，在Rt△PEF中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6，△PEF（点F和点A重合）的边EF和矩形的边AB在同一直线上.现将Rt△PEF从A以每秒1个单位的速度向射线AB方向匀速平移，当点F与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒，
解答下列问题：
（1）如图1，连接PD，填空：∠PFD= ，四边形PEAD的面积是 ；
（2）如图2，当PF经过点D时，求 △PEF运动时间t的值；
（3）在运动的过程中，设△PEF与△ABD重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式.
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【题目】“早黑宝”是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植．清徐县某葡萄种植基地2016年种植“早黑宝”100亩，到2018年“早黑宝”的种植面积达到225亩．
(1)求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；
(2)市场调查发现，当“早黑宝”售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降低1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1800元，则售价应降低多少元？
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【题目】在△ABC 中，AC=BC，点 E 在是 AB 边上一动点（不与 A、B 重合），连接 CE，点 P 是直线 CE 上一个动点．
（1）如图 1，∠ACB=120°，AB=16，E 是 AB 中点，EM=2，N 是射线 CB 上一个动点， 若使得 NP+MP 的值最小，应如何确定 M 点和点 N 的位置？请你在图 2 中画出点 M 和点 N 的位置，并简述画法： 直接写出 NP+MP 的最小值
（2）如图 3，∠ACB=90°，连接 BP， BPC=75°且 BC=BP．求证：PC=PA．
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【题目】如图，在△ABC中，点P在AB上，下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=APAB；④ABCP=APCB，能满足△APC与△ACB相似的条件有______________.
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