【题目】在△ABC 中，AC=BC，点 E 在是 AB 边上一动点（不与 A、B 重合），连接 CE，点 P 是直线 CE 上一个动点．
（1）如图 1，∠ACB=120°，AB=16，E 是 AB 中点，EM=2，N 是射线 CB 上一个动点， 若使得 NP+MP 的值最小，应如何确定 M 点和点 N 的位置？请你在图 2 中画出点 M 和点 N 的位置，并简述画法： 直接写出 NP+MP 的最小值
（2）如图 3，∠ACB=90°，连接 BP， BPC=75°且 BC=BP．求证：PC=PA．
【答案】（1）作图见解析；最小值为5；（2）证明见解析
【解析】
（1）画法：作点M关于EC的对称点
，过作N⊥BC交EC于点P，交BC于点N ，根据作图直接写出NP+MP 的最小值即可；
（2）过P作PF⊥BC于点F，PD⊥AC交EC于点D，先证明△BFC≌△DPC，可得PF＝CD，再根据特殊三角函数值得PB＝2PF，再根据BC=BP，AC=BC，可得AC＝2CD ，再根据PD⊥AC，即可证明PC＝PA．
（1）画法：作点M关于EC的对称点，过作N⊥BC交EC于点P，
交BC于点N
∵AB=16，E 是 AB 中点
∴
∵
，点是M关于EC的对称点
∴
∴
∵
，
∴
∵过作N⊥BC交EC于点P
∴
∴在
中
故最小值为5
（2）过P作PF⊥BC于点F，PD⊥AC交EC于点D，
∵∠CPF＝∠PCD＝15°，
∠PFC＝∠PDC＝90°．
∴△BFC≌△DPC．
∴PF＝CD ．
∵∠PFB＝90°，∠PBF＝30°
∴PB＝2PF．
∵BC=BP，AC=BC
∴BP= AC
∴AC＝2CD
∵PD⊥AC
∴PC＝PA
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目标测试系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】在一个不透明的袋子中，装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．
（1）搅匀后从中随机摸出一球，请直接写出摸出红球的概率；
（2）如果第一次随机摸出一个球（不放回），充分搅匀后，第二次再从剩余的两球中随机摸出一个小球，求两次都摸到红球的概率．（用树状图或列表法求解）
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在菱形ABCD中，AB=4，AE⊥BC于点E，点F，G分别是AB，AD的中点，连接EF，FG，若∠EFG=90°，则FG的长为_____.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD 平分∠BAC．
（1）求证：点 D 在 AB 的垂直平分线上；
（2）若 CD=2，求 BC 的长．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．
（1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”；
（2）点M，N是一对“互换点”，点M的坐标为（m，n），且（m＞n），⊙P经过点M，N．
①点M的坐标为（4，0），求圆心P所在直线的表达式；
②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4
），弧MN所在圆的圆心在x轴上，其中M(0，3)，N(4，5)，点P为弧MN上一点，则线段AP长度的最小值为___________________．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分数取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计图如下（未完成），解答下列问题：
（1）若A组的频数比B组小24，求频数分布直方图中的a、b的值；
（2）扇形统计图中，D部分所对的圆心角为n°，求n的值并补全频数分布直方图；
（3）若成绩在80分以上优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？
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