【题目】如图1,在矩形ABCD中,DB=6,AD=3,在Rt△PEF中,∠PEF=90°,EF=3,PF=6,△PEF(点F和点A重合)的边EF和矩形的边AB在同一直线上.现将Rt△PEF从A以每秒1个单位的速度向射线AB方向匀速平移,当点F与点B重合时停止运动,设运动时间为t秒,
解答下列问题:
(1)如图1,连接PD,填空:∠PFD= ,四边形PEAD的面积是 ;
(2)如图2,当PF经过点D时,求 △PEF运动时间t的值;
(3)在运动的过程中,设△PEF与△ABD重叠部分面积为S,请求出S与t的函数关系式.
【答案】(1)300,;(2);(3)见解析.
【解析】(1)根据锐角三角形函数可求出角的度数,然后根据勾股定理求出PE的长,再根据梯形的面积公式求解.
(2)当PF经过点D时,PE∥DA,由EF=3,PF=6,可得∠EPD=∠ADF=30°,用三角函数计算可得AF=t=;
(3)根据题意,分三种情况:①当0≤t<时,②≤t<3时,③3≤t≤6时,根据三角形、梯形的面积的求法,求出S与t的函数关系式即可.
(1)∵在Rt△PEF中,∠PEF=90°,EF=3,PF=6
∴sin∠P=
∴∠P=30°
∵PE∥AD
∴∠PAD=300,
根据勾股定理可得PE=3,
所以S四边形PEAD=×(3+3)×3=;
(2)当PF经过点D时,PE∥DA,由EF=3,PF=6,得∠EPF=∠ADF=30°,
在Rt△ADF中,由AD=3,得AF=,所以t= ;
(3)分三种情况讨论:
①当0≤t<时, PF交AD于Q,∵AF=t,AQ=t,∴S=×t×t=;
②当≤t<3时,PF交BD于K,作KH⊥AB于H,∵AF=t,∴BF=3-t,S△ABD=,
∵∠FBK=∠FKB,∴FB=FK=3-t,KH=KF×sin600=,∴S=S△ABD﹣S△FBK =
③当3≤t≤3时,PE与BD交O,PF交BD于K,∵AF=t,∴AE=t-3,BF=3-t,
BE=3-t+3,OE=BE×tan300=,∴S=。
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【题目】如图,已知一次函数y1=ax+b的图象与x轴、y轴分别交于点D、C,与反比例函数y2=的图象交于A、B两点,且点A的坐标是(1,3)、点B的坐标是(3,m).
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求C、D两点的坐标,并求△AOB的面积;
(3)根据图象直接写出:当x在什么取值范围时,y1>y2?
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【题目】在一个不透明的袋子中,装有2个红球和1个白球,这些球除了颜色外都相同.
(1)搅匀后从中随机摸出一球,请直接写出摸出红球的概率;
(2)如果第一次随机摸出一个球(不放回),充分搅匀后,第二次再从剩余的两球中随机摸出一个小球,求两次都摸到红球的概率.(用树状图或列表法求解)
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【题目】某汽车销售公司经销某品牌款汽车,随着汽车的普及,其价格也在不断下降.今年5月份款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元,如果卖出相同数量的款汽车,去年销售额为100万元,今年销售额只有90万元.
(1)今年5月份款汽车每辆售价多少万元?
(2)为了增加收入,汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车,已知款汽车每辆进价为7.5万元,款汽车每辆进价为6万元,公司预计用不多于105万元且不少于102万元的资金购进这两款汽车共15辆,有几种进货方案?
(3)按照(2)中两种汽车进价不变,如果款汽车每辆售价为8万元,为打开款汽车的销路,公司决定每售出一辆款汽车,返还顾客现金万元,要使(2)中所有的方案获利相同,值应是多少?
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=4,AE⊥BC于点E,点F,G分别是AB,AD的中点,连接EF,FG,若∠EFG=90°,则FG的长为_____.
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【题目】已知:如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AD 平分∠BAC.
(1)求证:点 D 在 AB 的垂直平分线上;
(2)若 CD=2,求 BC 的长.
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【题目】在平面直角坐标系中,将某点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”,如(-3,5)与(5,-3)是一对“互换点”.
(1)以O为圆心,半径为5的圆上有无数对“互换点”,请写出一对符合条件的“互换点”;
(2)点M,N是一对“互换点”,点M的坐标为(m,n),且(m>n),⊙P经过点M,N.
①点M的坐标为(4,0),求圆心P所在直线的表达式;
②⊙P的半径为5,求m-n的取值范围.
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【题目】如图,⊙O的直径AB=18,AC和BD是它的两条切线,CD与⊙O相切于E,且与AC、BD相交于点C、D,设AC=x,BD=y,试求xy的值.
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