Question

3．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当1＜x＜3时，它的图象在直线y=-2x的上方，当x＜1或x＞3时，它的图象在直线y=-2x的下方．若二次函数的最大值大于2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据当1＜x＜3时，它的图象在直线y=-2x的上方，当x＜1或x＞3时，它的图象在直线y=-2x的下方可知：抛物线与直线y=-2x的两个交点（1，-2）和（3，-6），代入二次函数y=ax²+bx+c中可得由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=-2}\\{9a+3b+c=-6}\end{array}\right.$，根据顶点坐标公式及已知的二次函数的最大值大于2，得$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞2，且a＜0，解出即可得结论．

解答 解：y=ax²+bx+c=a（x+$\frac{b}{2a}$）²+$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，
∵二次函数的最大值大于2，
∴$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞2，且a＜0，
即4ac-b²＜8a，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=-2}\\{9a+3b+c=-6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4a-2}\\{c=3a}\end{array}\right.$，
∴4a×3a-（-4a-2）²＜8a，
a²+6a+1＞0，
∴a₁＞-3+2$\sqrt{2}$，a₂＜-3-2$\sqrt{2}$，
∴实数a的取值范围是：a＜-3-2$\sqrt{2}$或-3+2$\sqrt{2}$＜a＜0．

点评 本题是二次函数和一次函数图象的综合问题，考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．