Question

【题目】如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，使得点H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC上．这时他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG.

阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：

(1)如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．

(2)已知三角形ABC的面积为36，BC＝12，在第(1)问的条件下，求长方形DEFG的面积．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) 18或.

【解析】

（1）如图2，先画长方形HIJK，使得HI=2HK，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；如备用图，先画长方形HIJK，使得HK=2HI，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；
（2）作△ABC的高AM，交GF于N．由三角形ABC的面积为36，求出AM=6．再设AN=x，由GF∥BC，得出△AGF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，由此求出x的值，进而求解即可．

解　(1)如图2与备用图1，长方形DEFG即为所求作的图形；

(2)在长方形DEFG中，如果DE＝2DG，如备用图2，作△ABC的高AM，交GF于N.

∵三角形ABC的面积＝BC·AM＝×12AM＝36，

∴AM＝6.

设AN＝x，则MN＝6－x，DG＝MN＝6－x，DE＝GF＝2(6－x)＝12－2x.

∵GF∥BC，

∴△AGF∽△ABC，

∴＝，

∴＝，

解得x＝3，

∴DG＝6－x＝3，DE＝2DG＝6，

∴长方形DEFG的面积＝6×3＝18；

在长方形DEFG中，如果DG＝2DE，同理求出x＝，

∴DG＝6－x＝，DE＝DG＝，

∴长方形DEFG的面积＝×＝.

故长方形DEFG的面积为18或.

故答案为：(1)见解析;(2) 18或.