Question

（1）△ABC为等边三角形，点E在AB上，点D在CB延长线上，ED=EC

①如图1，当点E为AB中点，求证：AE=DB．
②当点E运动到线段AB上其它位置时，如图2，AE=DB是否成立？请说明理由．
（2）如图3，若点E运动到AB延长线上时，AE=DB是否成立？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）先证AE=BE，再证∠D=∠DEB，得出DB=BE，即可得出DB=AE；
（2）过点E作EF∥BC，交AC于F，先证明△AEF是等边三角形，得出AE=EF，再证明△DBE≌△EFC，得出DB=EF，即可证出AE=DB；
（3）作EF∥BC，交AC的延长线于F，先得出△AEF是等边三角形，证出AE=EF，再证明△DBE≌△EFC，得出DB=EF，即可证出DB=AE．

解答：解：（1）①∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠ABC=60°，AE=BE，∠ECB=30°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB=30°，
∵∠ABC=∠D+∠DEB，
∴∠DEB=30°，
∴∠D=∠DEB，
∴DB=BE，
∴DB=AE；
②DB=AE成立；理由如下：
过点E作EF∥BC，交AC于F，如图2所示：
则∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠CEF=∠ECD，
∵∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠A=∠AEF=∠AFE=60°，
∠DBE=120°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，∠EFC=120°，
∴BE=CF，∠DBE=∠EFC，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠D=∠CEF，
在△DBE和△EFC中，

∠D=∠CEF   ∠DBE=∠EFC   BE=CF

∴△DBE≌△EFC（AAS），
∴DB=EF，
∴AE=DB；
（2）AE=DB成立；理由如下：如图3所示：
作EF∥BC，交AC的延长线于F，
则△AEF是等边三角形，∠DCE=∠CEF，
∴AE=EF，∠F=60°，
∵ED=DC，
∴∠D=∠DCE，
∴∠D=∠CEF，
在△DBE和△EFC中，

∠D=∠CEF   DBE=∠F=60°   ED=EC

∴△DBE≌△EFC（AAS），
∴DB=EF，
∴DB=AE．

点评：本题考查了等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质；主要考查学生综合运用定理进行推理论证的能力．