Question

【题目】在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形纸片的旋转”为主题开展数学活动．如图1，现有矩形纸片ABCD，AB＝8cm，AD＝6cm．连接BD，将矩形ABCD沿BD剪开，得到△ABD和△BCE．保持△ABD位置不变，将△BCE从图1的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α＜360°）．在△BCE旋转过程中，边CE与边AB交于点F．

（1）如图2，将图1中的△BCE旋转到点C落在边BD上时，CF= ；

（2）继续旋转△BCE，当点E落在DA延长线上时，求出CF的长；

（3）在△BCE旋转过程中，连接AE，AC，当AC＝AE时，直接写出此时α的度数及△AEC的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）CF=；（3）60° ， 或 300°，．

【解析】

（1）利用即可得,代入计算即可；

（2）易证EF=FB，再在RtBCF中利用勾股定理计算即可求出CF；

（3）分E在C的左右两边两种情况讨论。E在C的左边时，设EC的中点为G，连接AG，过点A作AH⊥BC于点H．解直角三角形求出AG即可解决问题；E在C的右边时，取CE的中点G，连接AG，作BH⊥AG于H．求出AG即可解决问题．

（1）∵∠CBF =∠CEB

∴

∴

∵AB＝EC=8，AD＝BC=6

∴

∴

（2）∵BE=BD， BA⊥DE

∴∠DBA=∠EBA

∵ ∠DBA =∠CEB

∴ ∠EBA=∠CEB

∴ EF=FB

设CF=x，则在RtBCF中，

（8﹣x）2=62+ x2，

解得x=

∴ CF=

（3）E在C左边时，如图3中，设EC的中点为G，连接AG，过点A作AH⊥BC于点H．

∵AC＝AE，EG＝GC，

∴AG⊥EC，

∵∠GCH＝180°﹣∠ECB＝180°﹣90°＝90°，

∴∠AGC＝∠GCH＝∠AHC＝90°，∴四边形AGCH是矩形，

∴GC＝AH＝EC＝8＝4

在Rt△ABH中，BH＝＝＝4，

此时

∴=30°

∴α=90-=60°

∵AG＝CH＝BH﹣BC＝4﹣6，

∴S△AEC＝ECAG＝×8×（4﹣6）＝（16﹣24）cm2．

E在C右边时，如图4所示，取CE的中点G，连接AG，作BH⊥AG于H．

同法可得：GH＝BC＝6，AH＝4，

∴AG＝AH+GH＝4+6，

∴S△AEC＝ECAG＝×8×（4+6）＝（16+24）cm2．

此时

∴=60°

∴α=360-=30°

综上所述α=60° 时，S△AEC＝ 或α=300° 时，S△AEC＝．