Question

【题目】阅读理解：

若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是（A，B）的妙点．

例如，如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是（A，B）的妙点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是（A，B）的妙点，但点D是（B，A）的妙点．

知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．

（1）数　 　所表示的点是（M，N）的妙点；

（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣40，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动多少个单位时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的妙点？

Answer 1

【答案】（1）2或10;（2）见解析．

【解析】

(1) 设所求数为x, 根据优点的定义分妙点在M、N之间和妙点在点N右边,列出方程解方程即可;

(2)根据妙点的定义可知分两种情况:①P为(A, B) 的妙点; ②P为 (B,A) 的妙点;③B为 (A, P) 的妙点. A为(B，P)的妙点设点P表示的数为y,根据妙点的定义列出方程, 进而得出的值.

解：（1）设所求数为x，由题意得

x﹣（﹣2）=2（4﹣x），

解得x=2；

或x+2=2（x﹣4），

解得x=10．

故数2或10所表示的点是【M，N】的妙点；

故答案为：2或10．

（2）设点P表示的数为y，分四种情况：

①P是【A，B】的妙点．

由题意，得y﹣（﹣40）=2（20﹣y），

解得y=0，

20﹣0=20；

②P是【B，A】的妙点．

由题意，得20﹣y=2[y﹣（﹣40）]，

解得y=﹣20，

20﹣（﹣20）=40；

③B是【A，P】的妙点．

由题意，得20﹣（﹣40）=2（20﹣y），

解得y=﹣10，

20﹣（﹣10）=30；

④A为【B，P】的妙点，

由题意得20﹣（﹣40）=2[y﹣（﹣40）]

y=﹣10，

20﹣（﹣10）=30．

综上可知，当P点运动20或40或30个单位时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的妙点．