Question

12．已知二次函数的图象y=x²-（m²-4m+$\frac{5}{2}$）x-2（m²-4m+$\frac{2}{9}$）与x轴的交点为A，B（点B在点A的右边），与y轴的交点为C
（1）若△ABC为Rt△，求m的值；
（2）在△ABC中，若AC=BC，求sin∠ACB的值．

Answer 1

分析 （1）令抛物线的解析式中y=0，可求出A、B点的坐标；若△ABC为直角三角形，则∠ACB必为直角，根据射影定理，即可求出m的值；
（2）若AC=BC，则O是AB的中点，由此可确定A、B、C的坐标，进而可根据△ABC面积的不同表示方法求出∠ACB的正弦值．

解答 解：设k=m²-4m+$\frac{5}{2}$，
则k+2=m²-4m+$\frac{9}{2}$，k=（m-2）²-$\frac{3}{2}$≥-$\frac{3}{2}$，
∴y=x²-kx-2（k+2）=（x+2）（x-k-2），
∴抛物线与x轴的两个交点为（-2，0），（k+2，0），
∵k≥-$\frac{3}{2}$，k+2≥$\frac{1}{2}$＞-2，
∴A（-2，0），B（k+2，0），C（0，-2k-4），
∴OA=2，OB=k+2，OC=2k+4，

（1）由于A、B位于原点两侧，若△ABC为Rt△，且OC⊥AB，则有：
OC²=OA•OB，
即：（2k+4）²=2（k+2），
解得k=-$\frac{3}{2}$，
∴m²-4m+$\frac{5}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
即m²-4m+4=0，
解得m=2；

（2）若AC=BC，则△ABC是等腰三角形，由于OC⊥AB，则OA=OB，
抛物线的对称轴与y轴重合，此时k=0，B（2，0），C（0，-4），
∴AC²=BC²=20；
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•sinACB•BC=$\frac{1}{2}$AB•OC，
∴sin∠ACB=$\frac{AB•OC}{AC•BC}$=$\frac{16}{20}$=$\frac{4}{5}$．

点评 此题是典型的二次函数综合题；需要注意的几点是：
①由于m的表达式较大，且含有二次项，若不用k来设m的表达式，本题的计算量将会很大；
②在（2）题中，若不能联想到三角形面积的另一种计算方法：S=$\frac{1}{2}$ab•sinC，解题过程将会很复杂；