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【题目】已知:∠MON45°,点AOM上,点BCON上,且OBOA

1)如图1,当点C在点B的右侧时,在ON下方作∠NCD45°,交AB的延长线于点D

①若ABBD,请直接写出线段OACD的关系   

②若ABBD,判断线段OACD的关系,并说明理由;

③若AB10BD8OB14,则CD   

2)如图2,当点C在点B的左侧时,在ON下方作∠NCD45°CD的反向延长线交AB于点A,在∠OAB的内部作∠BAE45°,交ON于点E,则线段OEEBCB之间的数量关系是   

【答案】1)①OACDOACD;②OACDOACD,见解析;③;(2 EB2OE2+CB2

【解析】

1DHOAONH通过证明AOB≌△DHBAAS),可得OAHD,再通过等边对等角和三角形内角和定理可得CDHD∠CDH90°,即可得OACDCDDH,再根据OADH,即可得证OACDDHOAONH,通过证明△AOB∽△HDB,可得OAHD,再根据等边对等角和三角形内角和定理可得CDHD∠CDH90°,即可得OACDCDDH,再根据OADH,即可得证OACDDHOAONH,作AGOBG,再根据等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的性质求解即可;

2)根据旋转的性质证明△BAE≌△BAGSAS),从而可得EBGB,在RtGBC中,由勾股定理得:GB2CG2+CB2,即可得证EB2OE2+CB2

解:(1)①结论:OACDOACD.理由如下:

DHOAONH.如图1所示:

DHOA

∴∠MON=∠BHD45°

在△AOB和△DHB中,

∴△AOB≌△DHBAAS),

OAHD

∵∠NCD45°

∴∠NCD=∠BHD45°

CDHD,∠CDH90°

OACDCDDH

OADH

OACD

故答案为:OACDOACD

②结论:OACDOACD

DHOAONH,如图1所示:

则△AOB∽△HDB

OAHD

∵∠NCD=∠AOB=∠BHD45°

CDHD,∠CDH90°

OACDCDDH

OADH

OACD

③作DHOAONH,作AGOBG,如图2所示:

则△AOG是等腰直角三角形,

AGOG,在RtABG中,

由勾股定理得:AG2+BG2AB2,即AG2+14AG2102

解得:AG6,或AG8(舍去),

AG6

OAAG6

DHOA

∴△AOB∽△HDB

,即

解得:HD

∵∠NCD=∠AOB=∠BHD45°

CDHD

故答案为:

2)结论:EB2OE2+CB2.理由如下:

∵∠AOB=∠NCD=∠ACO′45°

∴△AOC是等腰直角三角形,

将△AOE绕点A逆时针旋转90°得到△ACG,连接BG,如图3所示:

则∠ACG=∠AOB45°AGAECGOE

∵∠ACO=∠BCD45°

∴∠GCO45°+45°90°

∴∠GCB90°

∵∠BAE45°,∠EAG90°

∴∠BAG45°=∠BAE

在△BAE和△BAG中,

∴△BAE≌△BAGSAS),

EBGB

RtGBC中,由勾股定理得:GB2CG2+CB2

EB2OE2+CB2

故答案为:EB2OE2+CB2

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