Question

【题目】若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，

当a=2，h=3，k=4时，

二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．

∵2＞0，

∴该二次函数图象的开口向上．

当a=3，h=3，k=4时，

二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．

∵3＞0，

∴该二次函数图象的开口向上．

∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，

∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．

∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4

（2）解：∵y1的图象经过点A（1，1），

∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．

整理得：m2﹣2m+1=0．

解得：m1=m2=1．

∴y1=2x2﹣4x+3

=2（x﹣1）2+1．

∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5

=（a+2）x2+（b﹣4）x+8

∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，

∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1

=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．

其中a+2＞0，即a＞﹣2．

∴ ．

解得： ．

∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．

∴y2=5x2﹣10x+5

=5（x﹣1）2．

∴函数y2的图象的对称轴为x=1．

∵5＞0，

∴函数y2的图象开口向上．

①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，

∴y2随x的增大而减小，

∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5×（0﹣1）2=5，

②当1≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，

∴y2随x的增大而增大，

∴当x=3时，y2取最大值，

最大值为5（3﹣1）2=20．

综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20

【解析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质和二次函数的最值，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a即可以解答此题．