Question

【题目】问题情境

（1）如图1，已知AB∥CD，∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，求∠BPC的度数．

佩佩同学的思路：过点P作PG∥AB，进而PG∥CD，由平行线的性质来求∠BPC，求得∠BPC＝　 　

问题迁移

（2）图2．图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB＝90°，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED＝∠α，∠PAC＝∠β．

①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；

②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；

拓展延伸

（3）当点P在C，D两点之间运动时，若∠PED，∠PAC的角平分线EN，AN相交于点N，请直接写出∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）80°；（2）①∠APE＝∠α+∠β；②∠APE＝∠β﹣∠α，理由见解析；（3）∠ANE＝（∠α+∠β）

【解析】

（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，由平行线的性质可得∠BPC的度数；

（2）①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；

②过P作PQ∥DF，依据平行线的性质可得∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，即可得到∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α；

（3）过P和N分别作FD的平行线，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系为∠ANE＝（∠α+∠β）．

解：（1）如图1，过点P作PG∥AB，则PG∥CD，

由平行线的性质可得∠B+∠BPG＝180°，∠C+∠CPG＝180°，

又∵∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，

∴∠BPC＝360°﹣125°﹣155°＝80°，

故答案为：80°；

（2）①如图2，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠α+∠β；理由如下：

作PQ∥DF，

∵DF∥CG，

∴PQ∥CG，

∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，

∴∠APE＝∠APQ+∠EPQ＝∠β+∠α；

②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠β﹣∠α；理由如下：

过P作PQ∥DF，

∵DF∥CG，

∴PQ∥CG，

∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，

∴∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α；

（3）如图4，∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系为∠ANE＝（∠α+∠β）．理由如下：

作NQ∥DF，

∵DF∥CG，

∴NQ∥CG，

∴∠DEN＝∠QNE，∠CAN＝∠QNA，

∵EN平分∠DEP，AN平分∠CAP，

∴∠DEN＝∠α，∠CAN＝∠β，

∴∠QNE＝∠α，∠QNA＝∠，

∴∠ANE＝∠QNE +∠QNA＝∠α+∠β=（∠α+∠β）；