Question

【题目】如图，在边长为3的正方形中，点是边上的点，，；且交正方形外角的平分线于点，交边于点.

（1）求证：AE=EP；

（2）在边上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）存在，见解析.

【解析】

(1)在AB上取BN=BE,根据已知及正方形的性质利用ASA判定△ANE≌△ECP,从而得到AE=EP;

(2)先证△DAM≌△ABE，再证，进而可得四边形DMEP是平行四边形.

（1）

证明:在AB上截取

BN=BE,如图所示

∵四边形ABCD为正方形,

∴AB=BC.∠B=90°

∴AN=EC,∠1=∠2=45°

∴∠4=135°

∵CP为正方形ABCD的外角平分线,

∴∠PCB=135°

∴∠PCB=∠4.

∵∠AEP=90°

∴∠BEA+∠3=90°

∵∠BAE+∠BEA=90°

∴∠3=∠BAE

∴△ANE≌△ECP

∴AE=EP;

（2）存在.

如图，作且与交于点，则有.连结、，过作于.可证得，从而，所以,

依题意可设，由（1）知，得，则，所以，解得，则，于是，所以，则得，所以四边形为平行四边形.