Question

14．阅读下面资料：
问题情境：
（1）如图1，等边△ABC，∠CAB和∠CBA的平分线交于点O，将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点与点O重合，已知OA=2，则图中重叠部分△OAB的面积是$\sqrt{3}$．
探究：
（2）在（1）的条件下，将纸片绕O点旋转至如图2所示位置，纸片两边分别与AB，AC交于点E，F，求图2中重叠部分的面积．
（3）如图3，若∠ABC=α（0°＜α＜90°），点O在∠ABC的角平分线上，且BO=2，以O为顶点的等腰三角形纸片（纸片足够大）与∠ABC的两边AB，AC分别交于点E、F，∠EOF=180°-α，直接写出重叠部分的面积．（用含α的式子表示

Answer 1

分析 （1）由点O是等边三角形ABC的内心可以得到∠OAB=∠OBA=30°，结合条件OA=2即可求出重叠部分的面积．
（2）由旋转可得∠FOE=∠BOA，从而得到∠EOA=∠FOB，进而可以证到△EOA≌△FOB，因而重叠部分面积不变．
（3）在射线BC上取一点G，使得OG=OB，过点O作OH⊥AF，垂足为H，方法同（2），可以证到重叠部分的面积等于△OBG的面积，只需求出△OBG的面积就可解决问题．

解答 解：（1）过点O作ON⊥AB，垂足为N，如图1，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=∠CBA=60°，
∵点O为△ABC的内心
∴∠OAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠OBA=$\frac{1}{2}$∠CBA．
∴∠OAB=∠OBA=30°．
∴OB=OA=2．
∵ON⊥AB，
∴AN=NB，PN=1．
∴AN=$\sqrt{3}$，
∴AB=2AN=2$\sqrt{3}$．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$AB•PN=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．
（2）图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积相等．
证明：连接AO、BO，如图2，

由旋转可得：∠EOF=∠AOB，则∠EOA=∠FOB．
在△EOA和△FOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FBO=30°}\\{OA=OB}\\{∠EOA=∠FOB}\end{array}\right.$，
∴△EOA≌△FOB．
∴S_{四边形AEOF}=S_△OAB．
∴图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积相等．
（3）在射线BC上取一点G，使得OG=OB，过点O作OH⊥BF，垂足为H，如图3，
则有BH=GH=$\frac{1}{2}$BG，
∵∠ABC=α，BO为∠CAB的角平分线，
∴∠OBE=∠OBF=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{α}{2}$．
∵OB=OG，
∴∠OGB=∠OBG=$\frac{α}{2}$．
∴∠BOG=180°-α．
∵∠EOH=180°-α，
∴∠BOG=∠EOH．
同理可得：S_{四边形BEOF}=S_△OBG．
∵OB=2，
∴OH=2sin$\frac{α}{2}$，BH=2cos$\frac{α}{2}$．
∴BG=2BH=4cos$\frac{α}{2}$．
∴S_△OBG=$\frac{1}{2}$BG•OH=4sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$．
∴重叠部分的面积为：S_面积=4sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$．

点评 此题考查几何变换问题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的内心、三角形的内角和定理、勾股定理等知识，有一定的综合性．另外，在解决问题的过程中，常常可以借鉴已证的结论和已有的解题经验来解决新的问题．