Question

15．如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为y（cm²），已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：
①AB=6cm；②直线NH的解析式为y=-5t+90；③△QBP不可能与△ABE相似；④当∠PBQ=30°时，t=13秒．其中正确的结论个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．

解答 解：①根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/s，
∴BC=BE=10cm，S_△BCE=$\frac{1}{2}$BC•AB=30，
∴AB=6cm，故①正确；
②根据10-12秒面积不变，可得ED=2，
当点P运动到点C时，面积变为0，此时点P走过的路程为BE+ED+DC=18，
故点H的坐标为（18，0），
设直线NH的解析式为y=kx+b，
将点H（18，0），点N（12，30）代入可得：$\left\{\begin{array}{l}{18k+b=0}\\{12k+b=30}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-5}\\{b=90}\end{array}\right.$．
故直线NH的解析式为：y=-5t+90，故②错误；

③当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，由勾股定理，得AE=8，如图2所示：
∵tan∠BPQ=tan∠ABE=$\frac{8}{6}$=$\frac{BQ}{PQ}$，
∴$\frac{BQ}{PQ}$=$\frac{4}{3}$，即$\frac{10}{18-t}$=$\frac{4}{3}$，
解得：t=$\frac{11}{5}$，故③正确；
④如图2所示，tan∠PBQ=$\frac{PQ}{BC}$=$\frac{18-t}{10}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得t=$\frac{54-10\sqrt{3}}{3}$，故④错误；
综上可得①②③正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时，点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大．