Question

已知y₁=x²-2x+1，y₂=2x-k．
（1）当k=-1时，是否存在实数x，使得y₁+y₂=0？如果存在，请求出x的值，如果不存在，请说明理由．
（2）对给定的实数k，是否存在实数x，使y₁=ky₂？如果存在，请确定k的取值范围，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：存在型

分析：（1）当k=-1时，由y₁+y₂=0得x²+2=0，根据判别式的意义得到方程没有实数解，则不存在实数x使y₁+y₂=0；
（2）由y₁=ky₂，则x²-2x+1=k（2x-k），整理得x²-（2+2k）+1+k²=0，再计算判别式的值得到△=8k，所以当k≥0时，方程有实数解，即对给定的实数k，存在实数x，使y₁=ky₂．

解答：解：（1）不存在．理由如下：
k=-1时，令y₁+y₂=0，得x²+2=0，
因为△=1-4×2＜0，
所以方程没有实数解，
即不存在实数x使y₁+y₂=0；
（2）存在．
令y₁=ky₂，则x²-2x+1=k（2x-k），
整理得x²-（2+2k）+1+k²=0，
因为△=（2+2k）²-4（1+k²）=8k，
所以当k≥0时，方程有实数解，即对给定的实数k，存在实数x使y₁=ky₂．

点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．