Question

【题目】如图，Rt△ABE中，∠A＝90°，点C在AB上，∠CEB＝2∠AEC＝45°．

（1）求∠B的度数；

（2）求证：BC＝2AE．

Answer 1

【答案】（1）∠B＝22.5°；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据∠CEB＝2∠AEC＝45°可求得∠AEB＝67.5°，根据直角三角形两锐角互余，即可求出∠B的度数；

（2）取BC的中点D，作DF⊥AB交BE于F，连接CF，根据垂直平分线的性质定理可得CF=BF，BC＝2BD，可证△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质CE＝CF＝BF，证明△ACE≌△DFB根据全等三角形的性质定理即可得出结论.

（1）解：∵∠CEB＝2∠AEC＝45°．

∴∠AEC＝22.5°，

∴∠AEB＝45°+22.5°＝67.5°，

∵∠A＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠AEB＝22.5°；

（2）证明：取BC的中点D，作DF⊥AB交BE于F，连接CF，如图所示：

则BC＝2BD，BF＝CF，

∴∠BCF＝∠B＝22.5°，

∵∠BCE＝∠A+∠AEC＝112.5°，

∴∠ECF＝112.5°﹣22.5°＝90°，

∵∠CEB＝45°，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴CE＝CF＝BF，

在△ACE和△DFB中，

，

∴△ACE≌△DFB（AAS），

∴AE＝BD，

∴BC＝2AE．