Question

如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG．
（1）求证：△ABE∽△DEH；
（2）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？

Answer 1

考点：正方形的性质,相似三角形的判定

专题：证明题

分析：（1）易证∠DEH=∠ABE，即可证明△ABE∽△DEH；
（2）当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE，理由：连接BH，易证

EH

BE

=

DH

AE

=

1

2

，可得

AE

AB

=

EH

BE

，即可证明△BEH∽△BAE．

解答：解：（1）∵∠AEB+∠ABE=90°，∠DEH+∠AEB=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∵∠EAB=∠EDH=90°，
∴△ABE∽△DEH；
（2）当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE，

理由：连接BH，∵E是AD中点，
∴AE=

1

2

，
∴DH=

1

4

，
又∵△ABE∽△DEH，
∴

EH

BE

=

DH

AE

=

1

2

，
又∵

AE

AB

=

1

2

，
∴

AE

AB

=

EH

BE

，
又∠DAB=∠FEB=90°，
∴△BEH∽△BAE．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，考查了正方形各内角为90°性质，本题中求证△ABE∽△DEH和△BEH∽△BAE是解题的关键．