Question

如图，△ABC中，∠CAB+∠CBA=120°，点D，E分别在边AC，BC上，且AD=BE，以DE为边作等边△DEF，连接AF，BF．
求证：△FAB是等边三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：设AC、BF相交于点O，根据三角形的内角和定理求出∠C=60°，根据等边三角形的性质可得DF=EF，∠DFE=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADF=∠BEF，然后利用“边角边”证明△ADF和△BEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=BF，全等三角形对应角相等可得∠AFD=∠BFE，再求出∠AFB=∠DFE=60°，然后根据等边三角形的判定方法证明即可．

解答：证明：如图，设AC、BF相交于点O，
∵∠CAB+∠CBA=120°，
∴∠C=60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DF=EF，∠DFE=60°，
由三角形的外角性质得，∠ADF=∠DFE+∠DOF，
∠BEF=∠C+∠COE，
∵∠DFE=∠C=60°，∠DOF=∠COE（对顶角相等），
∴∠ADF=∠BEF，
在△ADF和△BEF中，

AD=BE ∠ADF=∠BEF DF=EF

，
∴△ADF≌△BEF（SAS），
∴AF=BF，∠AFD=∠BFE，
∴∠AFB=∠DFE=60°，
∴△FAB是等边三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质与三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于求出∠ADF=∠BEF．