Question

正方形ABCD和正方形A′B′C′D′边长均为（2+

2

）（3+

3

），中心O各边都互相重合．

（1）正方形A′B′C′D′绕着中心O，逆时针方向旋转45°时（如图1），求证：△AEF≌△A′GF．
（2）正方形A′B′C′D′绕着中心O，逆时针方向旋转任意锐角时（如图2），
①指出△AEF的不变量；
②当锐角由30°到45°时求△AEF面积的取值范围．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质,旋转的性质

专题：

分析：（1）连接OA=OA′，利用正方形的性质，得出出AF=A′F，证得△AEF≌△A′GF即可；
（2）①由（1）中的全等得出△AEF的周长不变等于正方形边长；
②分当旋转的锐角为30°时与旋转的锐角为45°时，求得各自的面积，得出答案即可．

解答：（1）证明：如图，

连接AA′，则OA=OA′，
∴∠OAA′=∠OA′A，
∵∠FAO=FA′O=45°，
∴∠FAA′=∠FA′A，
∴AF=A′F，
在△AEF和△A′GF中，

∠FA′G=∠FAE=90° AF=A′F ∠A′FG=∠AFE

∴△AEF≌△A′GF（ASA）．
（2）①同理可证△AEF≌△A′GF，由此可得△AEF的周长不变等于正方形边长．
②当旋转的锐角为30°时，设AF=x，则EF=2x，AE=

3

x，
三边之和为（3+

3

）x=（2+

2

）（3+

3

），
因此x=（2+

2

）．
s=3

3

+2

6

当旋转的锐角为45°时，设AF=y 则AE=y，EF=

2

y，
三边之和为（2+

2

）y=（2+

2

）（3+

3

），
因此y=（3+

3

）．
s=6+3

3

．
由于旋转过程中△AEF的周长不变，而当旋转的锐角由30°到45°时△AEF的面积也逐步增大3

3

+2

6

≤s≤6+3

3

．

点评：此题考查三角形全等的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，以及含30°、45°直角三角形的性质的综合运用．