Question

如图，等边△ABC内接于⊙O，P是

AB

上任意一点（P与点A、B不重合），连接AP、BP，过C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）求证：△ACM≌△BCP；
（2）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）因为△ABC是等边三角形，所以BC=AC，∠ACB=60°，再由CM∥BP得到∠PCM=∠BPC=60°，可判断△PCM是等边三角形，得到PC=MC，∠M=60°，易得∠PCB=∠ACM，然后利用“AAS“可判断△ACM≌△BCP≌△ACM；
（2）利用（1）证得的两三角形全等判定△PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．

解答：（1）证明：∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，
∴∠MAC=∠PBC，∠ACB+∠APB=180°；
∵CM∥BP，
∴∠M+∠APB=180°，
∴∠M=∠ACB；
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°，AC=BC；而∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠M=∠BPC；
在△ACM与△BCP中，

∠MAC=∠PBC ∠M=∠BPC AC=BC

，
∴△ACM≌△BCP（AAS）．
（2）解：作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM=CP  AM=BP，
又∵∠M=60°，
∴△PCM为等边三角形，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，
∴PH=

3

2

3

，
∴S_梯形PBCM=

1

2

（PB+CM）×PH=

1

2

（2+3）×

3 3

2

=

15 3

4

．

点评：本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题．