Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D在线段BC上，∠BDE=

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∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB交于点F，DG∥AC交AB于点H，交BE的延长线于点G．
（1）求证：△BDG是等腰三角形；
（2）求证：BE=

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DF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定

专题：证明题

分析：（1）由DG∥AC，可得∠C=∠BDG，由∠BDE=

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∠C，可得∠BDE=

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∠BDG，然后由BE⊥DE，可得∠BED=∠GED=90°，然后由三角形内角和定理可得：∠G=∠GBD，然后由等角对等边可得BD=GD，即可证：△BDG是等腰三角形；
（2）由DG∥AC，∠A=90°，AB=AC，可得∠BHD=∠A=90°，∠ABC=∠C=∠BDG=45°，进而得到BH=HD，然后再由ASA可证△BGH≌△DFH，从而得到FD=BG，然后由（1）知：BD=DG，DE⊥BG，所以可得：BE=EG=

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BG，进而可证BE=

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2

DF．

解答：证明：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵DG∥AC，
∴∠BDG=∠C=45°，∠BHD=∠A=90°，
∵∠BDE=

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∠C，
∴∠BDE=

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∠BDG，
即∠GDE=∠BDE，
∵BE⊥DE，
∴∠BED=∠GED=90°，
∴∠G=∠GBD，
∴BD=GD，
∴△BDG是等腰三角形；
（2）由（1）知：BD=GD，DE⊥BG，
∴BE=EG=

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2

BG，
∵∠BDG=45°，∠ABC=45°，
∴∠BDG=∠ABC，
∴BH=DH，
∵∠BHD=90°，
∴∠BHG=90°，
∴∠G+∠GBH=90°，
∵∠GED=90°，
∴∠G+∠GDE=90°，
在△BGH和△DFH中，
∵

∠BHG=∠DHF BH=DH ∠GBH=∠GDE

，
∴△BGH≌△DFH，
∴BG=DF，
∵BE=

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2

BG，
∴BE=

1

2

DF．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出命题中隐含的等量关系，是证明全等三角形的关键．