Question

已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）如图①，BF垂直CE于点F，交CD于点G，试说明AE=CG；
（2）如图②，作AH垂直于CE的延长线，垂足为H，交CD的延长线于点M，则图中与BE相等的线段是

 

，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，且CD为斜边上的中线，利用三线合一得到CD垂直于AB，且CD为角平分线，得到∠CAE=∠BCG=45°，再利用同角的余角相等得到一对角相等，AC=BC，利用ASA得到三角形AEC与三角形CGB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）由CD为角平分线，且∠ACB为直角，确定出∠ACD=∠BCD=45°，再由AC=BC，CD=CD，利用SAS得到三角形BCD与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再利用同角的余角相等得到一对角相等，根据AC=BC，利用AAS得到三角形BCE与三角形CAM全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．

解答：（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，

∠CAE=∠BCG AC=BC ∠ACE=∠CBG

，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE=CG；

（2）答：BE=CM
理由：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
在△BCD和△ACD中，

AC=BC ∠ACD=∠BCD CD=CD

，
∴△BCD≌△ACD（SAS），
∴∠ADC=∠CDB，
∵∠ADC+∠CDB=180°，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠CBE=45°，
∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
在△BCE和△CAM中，

∠CMA=∠BEC ∠ACM=∠CBE AC=BC

，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE=CM．
故答案为：CM．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．