Question

如图，点P是线段AB、CD垂直平分线的交点，AD、BC交于点O，若PO平分∠BOD，求证：AD=BC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：连接AP、CP．欲证明AD=BC，只需通过SAS推知△APD≌△BPC．

解答：证明：如图，连接AP、CP，过点P作PG⊥BC于G、PH⊥AD于H．
∵PO平分∠BOD，点P是线段AB、CD垂直平分线的交点，
∴PG=PH，BP=AP，
在Rt△BPG与Rt△APH中，

PG=PH BP=AP

，
∴Rt△BPG≌Rt△APH（HL），
同理，Rt△DPH≌Rt△CPG，
∴∠PBG=∠PAH，∠PDH=∠PCG，
在△PBC与△PAD中，

∠PBC=∠PAD PB=PA ∠PCB=∠PDA

，
∴△PBC≌△PAD（ASA），
∴BC=AD，即AD=BC．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，在推知全等三角形的条件时，利用了线段垂直平分线的性质和角平分线的性质．