Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=8，CD⊥AB，垂足为D，M为边AB上任意一点，点N在射线CB上（点N与点C不重合），且MC=MN，NE⊥AB，垂足为E．

（1）如图1，直接求出CD的长；
（2）如图1，当∠MCD=30°时，直接求出ME的长；
（3）如图2，当点M在边AB上运动时，试探索ME的长是否会改变？说明你的理由？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）先根据△ACD是等腰直角三角形得出CD=AD=BD=

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2

AB=4；
（2）先根据等腰直角三角形的性质得出CD=BD=4，再根据MN=MN可知∠MCN=∠MNC，由三角形外角的性质得出∠MCN=∠MCD+∠BCD，∠MNC=∠B+∠BMN，故∠MCD=∠NME．根据AAS定理可得△MCD≌△NME，由此可得出结论；
（3）①当点N在BC上时，证明过程同（2）；②当点N与点B重合时可直接得出结论；③当点N在CB的延长线上时，先根据AAS定理得出△MCD≌△NME，由全等三角形的性质可得出结论．

解答：解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=8，CD⊥AB，
∴CD=AD=BD=

1

2

AB=4．
故答案为：4；
（2）∵AC=BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵AC=BC，CD⊥AB，AB=8，
∴CD=BD=4，即∠BCD=45°．
∵MN=MN，
∴∠MCN=∠MNC．
∵∠MCN=∠MCD+∠BCD，∠MNC=∠B+∠BMN，
∴∠MCD=∠NME．
在△MCD与△NME中，

∠MCD=∠NEM ∠MDC=∠NEB=90° MC=NM

，
∴△MCD≌△NME（AAS），
∴ME=CD=4．

（3）ME的长度不会改变．
理由：①如图2所示，若点N在BC上（与B不重合），
∵AC=BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵AC=BC，CD⊥AB，AB=8，
∴CD=BD=4，即∠BCD=45°．
∵MN=MN，
∴∠MCN=∠MNC．
∵∠MCN=∠MCD+∠BCD，∠MNC=∠B+∠BMN，
∴∠MCD=∠NME．
在△MCD与△NME中，

∠MCD=∠NEM ∠MDC=∠NEB=90° MC=NM

，
∴△MCD≌△NME（AAS），
∴ME=CD=4．
②当点N与点B重合时，点M与点D重合，此时，ME=MN=4．
③如图3所示，若点N在边CB上，可知点M在线段BD上，且点E在边AB的延长线上．
∵∠ABC=∠MNC+∠BMN=45°，∠BCD=∠MCD+∠MNC=45°，MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC，
∴∠MCD=∠BMN．
在△MCD与△NME中，

∠MCD=∠NME ∠MDC=∠NEM=90° ME=MN

，
∴△MCD≌△NME（AAS），
∴ME=CD=4．
综上所述：由①②③可知，当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME=4．

点评：本题考查的是全等三角形的判定与性质，在解答（3）时要注意进行分类讨论，不要漏解．