Question

如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC的中点，点F在CD上，且DF=3CF，求证：AE⊥EF．

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：证明题

分析：先证明△EFC∽△AEB，得出∠EFC=∠AEB，由∠EFC+∠FEC=90°，证出∠FEC+∠AEB=90°，从而∠AEF=90°．

解答：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠C=∠B=90°，
∵E是BC的中点，DF=3CF，
∴CE=BE=

1

2

BC=

1

2

AB=2CF，
∵

CE

AB

=

1

2

，

CF

BE

=

1

2

，
∴

CE

AB

=

CF

BE

，
∴△EFC∽△AEB，
∴∠EFC=∠AEB，
∵∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
∴∠AEF=90°，
即AE⊥EF．

点评：本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出相等的角是解决问题的关键．