Question

如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：

分析：（1）由切线得出∠OEC=90°，证明△OBC≌△OEC，得出∠OBC=∠OEC=90°，证出BC为⊙O的切线；
（2）作辅助线求出DF=AB=4，BF=AD=1，设CE=x，Rt△CDF中，根据勾股定理得：（x+1）²-（x-1）²=16，得出x=4即可．

解答：（1）证明：连接OE，OC；如图所示：
∵DE与⊙O相切于点E
∴∠OEC=90°，
在△OBC和△OEC中，

OB=OE   CB=CE   OC=OC

，
∴△OBC≌△OEC（SSS），
∴∠OBC=∠OEC=90°，
∴BC为⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥BC于F；如图所示：设CE=x
∵CE，CB为⊙O切线，
∴CB=CE=x，
∵DE，DA为⊙O切线，
∴DE=DA=1，
∴DC=x+1，
∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90°
∴四边形ADFB为矩形，
∴DF=AB=4 BF=AD=1，
∴FC=x-1，
Rt△CDF中，根据勾股定理得：
（x+1）²-（x-1）²=16，
解得：x=4，
∴CE=4．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及切线的判定与性质；根据切线的性质利用勾股定理计算是解决问题的关键．