Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．
（1）猜想BE与AD的关系，并证明．
（2）若AC=

2

cm，则BE=

 

cm，DE=

 

cm．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，CA=CB，然后利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE；根据全等三角形的性质得到∠1=∠2，而∠3=∠4，然后根据三角形内角和定理即可得到∠EBD=∠ECD=90°；
（2）根据全等三角形的性质得到AD=BE，而DB=AB=2cm，所以BE=4cm；在Rt△DBE中，利用勾股定理求出DE的长．

解答：解：（1）BE与AD垂直．理由如下：
∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴CD=CE，CA=CB，
∵∠ACB=90°，∠DCE=90°，
∴∠ECD+∠DCB=∠DCB+∠ACB，即∠ECB=∠ACD，
在△ACD和△BCE中，

CD=CE ∠ACD=∠BCE CA=CB

，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
∴∠1=∠2，
而∠3=∠4，
∴∠EBD=∠ECD=90°，
∴BE⊥CD．
（2）∵若AC=BC=

2

cm，
∴AB=

( 2 )2+( 2 )2

=2cm，
∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∵DB=AB=2cm，
∴BE=2×2cm=4cm；
在Rt△DBE中，
DE=

22+42

=2

5

cm．
故答案为4cm，2

5

cm．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．