Question

如图1，AB是⊙O的直径，点E是弧AD上的一点，∠DBC=∠BED．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AD=6，CD=2．
①求BD的长；
②如图2所示，请求出阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理得∠ADB=90°，则∠A+∠ABD=90°，加上∠BED=∠A，∠DBC=∠BED，易得∠ABC=90°，于是根据切线的判定定理可得BC是⊙O的切线；
（2）①证明△BDC∽△ADB，利用相似比可计算出BD=2

3

；
②连结OD，作DH⊥AB于H，如图2，先根据勾股定理计算出AB=4

3

，则OB=OD=2

3

，于是可判断△OBD为等边三角形，则∠BOD=60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出DH=

3

OH=3，然后根据扇形面积公式和三角形面积公式，利用阴影部分的面积=S_△OBD+S_△BDC-S_扇形OBD进行计算即可．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠BED=∠A，∠DBC=∠BED，
∴∠DBC+∠ABD=90°，即∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：①∵∠DBC=∠A，∠BDC=∠BDA=90°，
∴△BDC∽△ADB，
∴

BD

AD

=

CD

BD

，即

BD

6

=

2

BD

，
∴BD=2

3

；
②连结OD，作DH⊥AB于H，如图2，
在Rt△ABD中，∵AD=6，BD=2

3

，
∴AB=

AD2+BD2

=4

3

，
∴OB=OD=2

3

，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠ODH=30°，
∴OH=

1

2

OD=

3

，
∴DH=

3

OH=3，
∴阴影部分的面积=S_△OBD+S_△BDC-S_扇形OBD
=

1

2

×2

3

×3+

1

2

×2

3

×2-

60•π•(2 3 )2

360

=5

3

-2π．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和扇形的面积公式．