Question

已知，如图（1）所示，△ABC的∠ABC的平分线BD与∠ACB的外角平分线交于D点，
（1）DE∥BC交BA的延长线于E，交CA延长线于F，求证：CF=EF+BE；
（2）如图（2），在（1）的条件下，∠ACB=30°，∠ABC=90°，DE=2，求△FCD的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先根据角平分线的性质得出∠1=∠2，∠DCF=∠DCG，再由平行线的性质可知∠2=∠3，∠DCG=∠FDC，故可得出DE=BE，DF=CF，由此可得出结论；
（2）过点C作CH⊥BD于点H，由（1）知BE=DE，BC∥DE，再根据∠ABC=90°可知∠BED=90°，由勾股定理求出BD的长，再根据∠ACB=30°，CD是∠ACG的平分线可得出∠ACD的度数，由三角形内角和定理求出∠CDH的度数．设BH=CH=x，则DH=BD-x，根据锐角三角函数的定义得出x的值，进而可得出EF的值，由三角形的面积公式即可得出结论．

解答：（1）证明：如图1所示，
∵△ABC的∠ABC的平分线BD与∠ACB的外角平分线交于D点，
∵∠1=∠2，∠DCF=∠DCG．
∵DE∥BC，
∴∠2=∠3，∠DCG=∠FDC，
∴∠1=∠3，∠DCF=∠FDC，
∴DE=BE，DF=CF，
∴EF+DE=EF+BE=DF=CF，即CF=EF+BE；

（2）解：如图2，过点C作CH⊥BD于点H，由（1）知BE=DE，BC∥DE，
∵∠ABC=90°，BD平分角ABC，
∴∠BED=90°，∠DBC=45°．
∵DE=2，
∴BD=

DE2+BE2

=

22+22

=2

2

．
∵∠ACB=30°，
∴∠ACG=180°-30°=150°．
∵CD是∠ACG的平分线，
∴∠ACD=∠DCG=

1

2

×150°=75°，
∴∠EDC=∠DCG=75°，
∴∠CDH=∠EDC-∠EDB=75°-45°=30°．
设BH=CH=x，则DH=BD-x=2

2

-x，
∴

CH

DH

=tan∠CDH，即

x

2 2 -x

=

3

3

，解得x=

6

-

2

，
∴BC=

CH

sin∠DBC

=

6 - 2

2 2

=2

3

-2，
∴AB=BC•tan∠ACB=（2

3

-2）•

3

3

=2-

2 3

3

，
∴AE=BE-AB=2-2+

2 3

3

=

2 3

3

．
∵DE∥BC，
∴∠F=∠ABC=30°，
∴EF=

AE

tan30°

=

2 3 3

3 3

=2，
∴S_△FCD=

1

2

（EF+DE）•BE=

1

2

×（2+2）×2=4．

点评：本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，难度较大．