Question

【题目】阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1,在△ABC中,DE∥BC分别交AB于D，交AC于E． 已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．

小明发现,过点E作EF∥DC,交BC延长线于点F,构造△BEF,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2)．

（1）求证：DE=CF

（2）求BC+DE的值

（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，已知ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）60°

【解析】

（1）由DE∥BC，EF∥DC，可证得四边形DCFE是平行四边形，从而问题得以解决；
（2）由DC⊥BE，四边形DCFE是平行四边形，可得Rt△BEF，求出BF的长，证明BC+DE=BF；
（3）连接AE，CE，由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，易证得四边形DCEF是平行四边形，继而证得△ACE是等边三角形，问题得证．

（1）∵DE∥BC,EF∥DC，

∴四边形DCFE是平行四边形，

∴EF=CD=3，CF=DE，

（2）由于四边形DCFE是平行四边形，
∴DE=CF，DC=EF，
∴BC+DE=BC+CF=BF．
∵DC⊥BE，DC∥EF，
∴∠BEF=90°．在Rt△BEF中，
∵BE=5，CD=3，

∴BC+DE=BC+CF=BF=；

（3）解决问题：连接AE，CE，如图．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC．

∵四边形ABEF是矩形，

∴AB∥FE，BF=AE．

∴DC∥FE．

∴四边形DCEF是平行四边形．

∴CE∥DF．

∵AC=BF=DF，

∴AC=AE=CE．

∴△ACE是等边三角形．

∴∠ACE=60°．

∵CE∥DF，

∴∠AGF=∠ACE=60°．