Question

【题目】如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，＝，BE分别交AD、AC延长线于点F、G．

（1）过点A作直线MN，使得MN∥BG，判断直线MN与⊙O的位置关系，并说理．

（2）若AC＝3，AB＝4，求BG的长．

（3）连接CE，探索线段BD、CD与CE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线MN与⊙O相切，理由见解析；（2）BG＝；（3）BD＝CE+CD，理由见解析

【解析】

（1）根据平行线的性质得到∠NAG＝∠G，根据圆周角定理得出∠ABG=∠AEB，再由∠ABC+∠EBC=∠G+∠EAG得出∠ABC=∠G，进而得到∠NAG＝∠ABC，由AB是直径得出∠BAC=90°，等量代换∠OAN=90°,求得OA⊥MN，即可得到结论；

（2）连接AE，根据圆周角定理得到∠AEB＝∠ACB，根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠AEB，根据相似三角形的性质即可得到结论；

（3）连接CE，在BC上截取BH＝CE，连接AH，根据全等三角形的判定方法得出△ABH≌△AEC（SAS），再根据全等三角形的性质即可得到结论．

解：（1）直线MN与⊙O相切，

理由：连接OA、AE

∵MN∥BG，

∴∠NAG＝∠G，

∵＝，

∴AB=AE，∠ABG=∠AEB

∵∠EBC=∠EAC

∴∠ABC+∠EBC=∠G+∠EAG

∴∠ABC=∠G

∴∠NAG =∠ABC，

∵OA=OB

∴∠ABC=∠BAO=∠NAG

∵AB是直径

∴∠BAC=90°即∠BAO+∠OAC=90°

∴∠NAG+∠OAC=90°

即∠NAO=90°

∴OA⊥MN，

∴直线MN与⊙O相切；

（2）解：连接AE，

由（1）可知：∠ABC=∠G

∵∠BAC＝∠GAB，

∴△ABC∽△AGB，

∴，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°，

∵AC＝3，AB＝4，

∴BC＝5，

∴，

∴BG＝；

（3）解：BD＝CE+CD，

理由：连接CE，

在BC上截取BH＝CE，连接AH，

∵AB＝AE，

又∵∠ABC＝∠AEC，

∴△ABH≌△AEC（SAS），

∴AH＝AC，

又∵AD⊥BC，

∴HD＝CD，

∴BD＝BH+HD＝CE+CD．