Question

【题目】如图，在正方形中，．点为边上一点（不与点重合），点为边上一点，线段、相交于点，其中．

求证：；

若，求的长及四边形的面积；

连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）6；（3）.

【解析】

（1）只要证明△ABE≌△BCF，即可推出∠BAE=∠CBF，由∠BAE+∠AEB=90°，推出∠CBF+∠AEB=90°，推出∠BOE=90°；

（2）设OB=x，则OA=x+1，在Rt△AOB中，由AB2=OA2+OB2，可得x2+（x+1）2=52，推出x=3或-4（舍弃），推出OA=4，OB=3，根据S四边形OECF=S△AOB计算即可；

（3）作DH⊥OA于H．易证△ADH≌△BAO，推出AH=OB，由△ADO是AD为腰的等腰三角形，OA＜AB=AD，推出只有AD=OD，推出AH=OH=OB，设AH=OH=OB=a，可得（2a）2+a2=52，推出a=，推出OA=2，由cos∠BAE=，列出方程即可解决问题；

证明：∵四边形是正方形，

∴，，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

设，则，

在中，∵，

∴，

∴或（舍弃），

∴，，

∵，

∴，

∴．

作于．易证，

∴，

∵是为腰的等腰三角形，，

∴只有，

∴，设，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．