Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD是∠ACB的平分线．
（1）△ABC和△CBD相似吗？为什么？
（2）AD、AB、BD之间有什么关系？为什么？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,黄金分割

专题：

分析：（1）相似，由条件可求得∠DCB=36°，结合公共角可证明相似；
（2）由（1）相似可得

CD

AB

=

BD

BC

，又可以证得CD=BC=AD，可得结论．

解答：解：
（1）相似，理由如下：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠DCA=∠A，且∠ABC=∠CDB，
∴△ABC∽△CBD；
（2）由（1）可得△ABC∽△CBD，
∴

CD

AB

=

BD

BC

，
又由（1）可知AD=CD=CB，
∴AD²=AB•BD．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意等腰三角形的性质和判定的应用．