Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；②b²-4ac＞0；③9a+3b+c＜0；④8a+c＜0；⑤P=|a-b+c|+|2a+b|，Q=|a+b+c|+|2a-b|，P＜Q．
其中，正确结论的个数是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：计算题

分析：由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线的对称轴为直线x=1得到b=-2a＜0，由抛物线与x轴的交点在x轴下方得到c＜0，于是可对①进行判断；根据抛物线与x轴交点的个数可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则x=3时，y＜0，所以9a+3b+c＜0，于是可对③进行判断；由于x=-2时，y＞0，即4a-2b+c＞0，加上b=-2a，于是可对④进行判断；由于x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，则可对P、Q进行化简，得到P=|a-b+c|+|2a+b|=-3a-c，Q=5a-c，再计算Q-P=8a＞0，于是可对⑤进行判断．

解答：解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a＜0，
∵抛物线与x轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b²-4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，
而对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，
∴x=3时，y＜0，即9a+3b+c＜0，所以③正确．
∵x=-2时，y＞0，即4a-2b+c＞0，
而b=-2a，
∴4a+4a+c＞0，即8a+c＞0，所以④错误；
∵x=1时，y＜0，即a+b+c＜0；x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，
∴P=|a-b+c|+|2a+b|=-a+b-c=-a+b-c=-a-2a-c=-3a-c
Q=|a+b+c|+|2a-b|=-a-b-c+4a=3a+2a+c=5a-c，
∴Q-P=5a-c-（-3a-c）=8a＞0，
∴P＜Q，所以⑤正确．
故选C．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．