Question

如图，由△ABC的顶点A作高AD，以垂足D为圆心，AD为半径作圆，分别交AB、AC于EF，若AE=2，AF=3，AB=5，求AC的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：过D分别作DM⊥AB，DN⊥AC，则可得到AD²=AM•AB，AD²=AN•AC，结合垂径定理可得AM=

1

2

AE，AN=

1

2

AF，代入可求得AC．

解答：解：过D分别作DM⊥AB，DN⊥AC，
∵AD⊥BC，
∴∠AMD=∠ADB=90°，
∴∠MAD+∠ADM=∠B+∠MAD，
∴∠ADM=∠B，
∴△ADM∽△ABD，
∴

AD

AB

=

AM

AD

，
∴AD²=AM•AB，
同理可得AD²=AN•AC，
∴AM•AB=AN•AC，
又由垂径定理可得AM=

1

2

AE=1，AN=

1

2

AF=1.5，
∴1×5=1.5AC，
解得AC=

10

3

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，构造三角形相似得到AD²=AM•AB和AD²=AN•AC是解题的关键．